Tìm đẳng thức đúng từ một đẳng thức cho trước (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm đẳng thức đúng từ một đẳng thức cho trước lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm đẳng thức đúng từ một đẳng thức cho trước.

Tìm đẳng thức đúng từ một đẳng thức cho trước (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để chứng minh tỉ lệ thức ta thường dùng một số phương pháp sau:

− Phương pháp 1: Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$, suy ra a = b . k; c = d . k rồi thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, biến đổi để trở thành cùng một biểu thức rồi suy ra điều phải chứng minh.

− Phương pháp 2: Dùng tính chất của tỉ lệ thức:

Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ suy ra a . d = b . c.

− Phương pháp 3: Dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Nếu có $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{g}$ thì ta suy ra $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{g}=\frac{a+c+e}{b+d+g}=\frac{a-c+e}{b-d+g}$ (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

− Phương pháp 4: Có thể dùng cách đặt thừa số chung trên tử và mẫu để chứng minh.

Một số kiến thức cần chú ý:

$\frac{a}{b}=\frac{n.a}{n.b}(n\ne 0)$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow {\left(\frac{a}{b}\right)}^n={\left(\frac{c}{d}\right)}^n(n\in \mathbb{N}*)$

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ với a – b ≠ 0 và c – d ≠ 0. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

Hướng dẫn giải:

Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ suy ra a = kb; c = kd

Ta có:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{kb}+b}{\mathrm{kb}-b}=\frac{(k+1)b}{(k-1)b}=\frac{k+1}{k-1}$;

$\frac{c+d}{c-d}=\frac{\mathrm{kd}+d}{\mathrm{kd}-d}=\frac{(k+1)d}{(k-1)d}=\frac{k+1}{k-1}$

Do đó: $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$(đpcm).

Ví dụ 2. Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, chứng minh rằng:

a) $\frac{5a+3b}{5a-3b}=\frac{5c+3d}{5c-3d}$;

b) $\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{cd}}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$.

Hướng dẫn giải:

a) Từ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ hay ad = bc.

Ta có:

* (5a + 3b) . (5c – 3d)

= 25ac – 15ad + 15bc – 9bd

= 25ac – 15bc + 15bc – 9bd

= 25ac – 9bd.

Do đó (5a + 3b) . (5c – 3d)= 25ac – 9bd (1)

* (5a – 3b) . (5c + 3d)

= 25ac + 15ad – 15bc – 9bd

= 25ac + 15bc – 15bc – 9bd

= 25ac – 9bd

Do đó (5a – 3b) . (5c + 3d)= 25ac – 9bd(2)

Từ (1) và (2) suy ra: (5a + 3b) . (5c – 3d) = (5a – 3b) . (5c + 3d)

Vậy $\frac{5a+3b}{5a-3b}=\frac{5c+3d}{5c-3d}$ (đpcm).

b) Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

Từ đó ta có:

${\left(\frac{a}{c}\right)}^2={\left(\frac{b}{d}\right)}^2=\frac{b}{d}.\frac{b}{d}=\frac{a}{c}.\frac{b}{d}=\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{cd}}$

Vậy: ${\left(\frac{a}{c}\right)}^2={\left(\frac{b}{d}\right)}^2$ hay $\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$

Do đó: $\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{cd}}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$ (đpcm).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì đẳng thức nào sau đây đúng:

A. $\frac{7a^2+3}{11a^2-8b^2}=\frac{7c^2+3\mathrm{cd}}{11c^2-8d^2}$;

B. $\frac{7a^2+3\mathrm{ab}}{11a^2-8b^2}=\frac{7c^2+3\mathrm{cd}}{11c^2-8d^2}$;

C. $\frac{7a^2+3\mathrm{ab}}{11a^2-8b^2}=\frac{7c^2+3}{11c^2-8d^2}$;

D. $\frac{7a^2+3\mathrm{ab}}{11a^2-8b^2}=\frac{7c^2+3\mathrm{cd}}{11c^2-8d^2}$.

Bài 2. Cho b² = ac; c² = bd. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{a^3+b^3-c^3}{b^3+c^3-d^3}={\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)}^3$;

B. $\frac{a^3+b^3}{b^3+c^3-d^3}={\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)}^3$;

C. $\frac{a^3+b^3-c^3}{b^3+c^3-d^3}={\left(\frac{a+b}{b+c-d}\right)}^3$;

D. $\frac{a^3+b^3-c^3}{b^3+c^3-d^3}={\left(\frac{a+b-c}{b+d}\right)}^3$.

Bài 3. Cho a, b, c thỏa mãn $\frac{a}{2020}=\frac{b}{2021}=\frac{c}{2022}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (a – b)(b – c) = (c − a)²;

B. (a – b)(b – c) = 4(c − a)².

C. 4(a – b)(b – c) = (c − a)².

D. 4(a – b)(b – c) = 2(c − a)².

Bài 4. Biết $\frac{a}{a’}+\frac{b}{b’}=1$ và $\frac{b}{b’}+\frac{c’}{c}=1$. Tổng abc + a’b’c’ bằng bao nhiêu?

A. 1;

B. 0;

C. 2;

D. 3.

Bài 5. Cho $\frac{\mathrm{bz}-\mathrm{cy}}{a}=\frac{\mathrm{cx}-\mathrm{az}}{b}=\frac{\mathrm{ay}-\mathrm{bx}}{c}$, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$;

B. $\frac{2x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$;

C. $\frac{x}{a}=\frac{2y}{b}=\frac{z}{c}$;

D. $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{2z}{c}$.

Bài 6. Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) với a, b, c là các số khác nhau và khác 0 thì đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{1}{a(b-c)}=\frac{z-x}{b(c-a)}=\frac{x-y}{c(a-b)}$;

B. $\frac{y-z}{a(b-c)}=\frac{1}{b(c-a)}=\frac{x-y}{c(a-b)}$;

C. $\frac{y-z}{a(b-c)}=\frac{z-x}{b(c-a)}=\frac{x-y}{c(a-b)}$;

D. $\frac{y-z}{a(b-c)}=\frac{z-x}{b(c-a)}=\frac{1}{c(a-b)}$.

Bài 7. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{a}{a+b}=\frac{1}{c+d}$;

B. $\frac{1}{a+b}=\frac{c}{c+d};$

C. $\frac{a}{a+2b}=\frac{c}{c+d};$

D. $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}.$

Bài 8. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$. Đẳng thức nào sau đây là đúng, giả thiết các tỉ số đều có nghĩa?

A. $\frac{a+c}{b+d}=\frac{1}{b-d}$;

B. $\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$;

C. $\frac{1}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$;

D. $\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{2b-d}$.

Bài 9. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Nếu giả thiết các tỉ số đều có nghĩa thì đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{a+3b}{b}=\frac{c+3d}{d}$;

B. $\frac{a+2b}{b}=\frac{c+2d}{d}$;

C. $\frac{a+4b}{b}=\frac{c+4d}{d}$;

D. $\frac{a+5b}{b}=\frac{c+5d}{d}$.

Bài 10. Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ne \pm 1$ và c ≠ 0, khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${\left(\frac{a+b}{c+d}\right)}^3=\frac{a^3-b^3}{c^3-d^3}$;

B. ${\left(\frac{\mathrm{ab}}{c+d}\right)}^3=\frac{a^3-b^3}{c^3-d^3}$

C. ${\left(\frac{a+b}{c+d}\right)}^3=\frac{a^3}{c^3-d^3}$;

D. Các đáp án trên đều sai.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau

• Một số bài toán thực tế về dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---